Изучение законов поступательного движения на машине Атвуда: формулы и пояснения

Использование простых механизмов в физике позволяет изучать различные природные процессы и законы. Одним из этих механизмов является машина Атвуда. Рассмотрим в статье, что она собой представляет, для чего используется, и какие формулы описывают принцип ее работы.

Что такое машина Атвуда?

Названная машина представляет собой простой механизм, состоящий из двух грузов, которые соединены переброшенной через неподвижный блок нитью (веревкой). В данном определении следует пояснить несколько нюансов. Во-первых, массы грузов в общем случае являются разными, что обеспечивает наличие у них ускорения под действием силы тяжести. Во-вторых, нить, связывающая грузы, считается невесомой и нерастяжимой. Эти предположения значительно облегчают последующие расчеты уравнений движения. Наконец, в-третьих, неподвижный блок, через который переброшена нить, также считается невесомым. Кроме того, во время его вращения пренебрегают силой трения. Ниже на схематическом рисунке показана эта машина.

Вам будет интересно: Пространственная экономика: описание специальностей и структура

Машина Атвуда была изобретена английским физиком Джорджем Атвудом в конце XVIII века. Служит она для изучения законов поступательного движения, точного определения ускорения свободного падения и экспериментальной проверки второго закона Ньютона.

Уравнения динамики

Каждый школьник знает, что ускорение у тел появляется только в том случае, если на них оказывают действие внешние силы. Данный факт был установлен Исааком Ньютоном в XVII веке. Ученый изложил его в следующем математическом виде:

Где m – инерционная масса тела, a – ускорение.

Изучение законов поступательного движения на машине Атвуда предполагает знание соответствующих уравнений динамики для нее. Предположим, что массы двух грузов равны m1 и m2, причем m1>m2. В таком случае первый груз будет перемещаться вниз под действием силы тяжести, а второй груз будет двигаться вверх под действием силы натяжения нити.

Рассмотрим, какие силы действуют на первый груз. Их две: сила тяжести F1 и сила натяжения нити T. Силы направлены в разных направлениях. Учитывая знак ускорения a, с которым перемещается груз, получаем следующее уравнение движения для него:

Что касается второго груза, то на него действуют силы той же природы, что и на первый. Поскольку второй груз движется с ускорением a, направленным вверх, то уравнение динамики для него принимает вид:

Вам будет интересно: Что такое подполье? Подпольная организация «Молодая гвардия». Антифашистское движение

Таким образом, мы записали два уравнения, в которых содержатся две неизвестных величины (a и T). Это означает, что система имеет однозначное решение, которое будет получено далее в статье.

Расчет уравнений динамики для равноускоренного движения

Как мы видели из записанных выше уравнений, результирующая сила, действующая на каждый груз, остается неизменной в процессе всего движения. Масса каждого груза также не меняется. Это означает, что ускорение a будет постоянным. Такое движение называют равноускоренным.

Изучение равноускоренного движения на машине Атвуда заключается в определении этого ускорения. Запишем еще раз систему динамических уравнений:

Чтобы выразить значение ускорения a, сложим оба равенства, получаем:

F1 – F2 = a*(m1 + m2) =>

a = (F1 – F2)/(m1 + m2).

Подставляя явное значение сил тяжести для каждого груза, получаем конечную формулу для определения ускорения:

a = g*(m1 – m2)/(m1 + m2).

Отношение разницы масс к их сумме называют числом Атвуда. Обозначим его na, тогда получим:

Проверка решения уравнений динамики

Выше мы определили формулу для ускорения машины Атвуда. Она является справедливой только в том случае, если справедлив сам закон Ньютона. Проверить этот факт можно на практике, если провести лабораторную работу по измерению некоторых величин.

Лабораторная работа с машиной Атвуда является достаточно простой. Суть ее заключается в следующем: как только грузы, находящиеся на одном уровне от поверхности, отпустили, необходимо засечь время движения грузов секундомером, а затем, измерить расстояние, на которое переместился любой из грузов. Предположим, что соответствующие время и расстояние равны t и h. Тогда можно записать кинематическое уравнение равноускоренного движения:

Откуда ускорение определяется однозначно:

Отметим, что для увеличения точности определения величины a, следует проводить несколько экспериментов по измерению hi и ti, где i – номер измерения. После вычисления значений ai, следует рассчитать среднюю величину acp из выражения:

Где m – количество измерений.

Приравнивая это равенство и полученное ранее, приходим к следующему выражению:

Если данное выражение оказывается справедливым, то таковым также будет и второй закон Ньютона.

Расчет силы тяжести

Выше мы предположили, что значение ускорения свободного падения g нам известно. Однако при помощи машины Атвуда определение силы тяжести также оказывается возможным. Для этого вместо ускорения a из уравнений динамики следует выразить величину g, имеем:

Чтобы найти g, следует знать, чему равно ускорение поступательного перемещения. В пункте выше мы уже показали, как его находить экспериментальным путем из уравнения кинематики. Подставляя формулу для a в равенство для g, имеем:

Вычислив значение g, несложно определить силу тяжести. Например, для первого груза ее величина будет равна:

Определение силы натяжения нити

Сила T натяжения нити является одним из неизвестных параметров системы динамических уравнений. Выпишем еще раз эти уравнения:

Если в каждом равенстве выразить a, и приравнять оба выражения, тогда получим:

(F1 – T)/m1 = (T – F2)/m2 =>

T = (m2*F1 + m1*F2)/(m1 + m2).

Подставляя явные значения сил тяжести грузов, приходим к конечной формуле для силы натяжения нити T:

T = 2*m1*m2*g/(m1 + m2).

Машина Атвуда имеет не только теоретическую пользу. Так, подъемник (лифт) использует при своей работе контргруз с целью подъема на высоту полезного груза. Такая конструкция значительно облегчает работу двигателя.

ПОСТУПАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ НА МАШИНЕ АТВУДА

Цель работы: изучение основного закона динамики поступательного движения падающего груза.

Приборы и принадлежности: машина Атвуда, наборы грузов и перегрузов.

При движении тела любая его точка описывает в пространстве линию, называемую траекторией. Если траектории всех точек тела представляют прямую, то движение называется прямолинейным. Если модуль (величина) скорости тела с течением времени увеличивается или уменьшается, то движение называется, соответственно, ускоренным или замедленным. Всякое ускорение есть результат действия силы на движущееся тело со стороны других тел.

Основной закон динамики поступательного движения (второй закон Ньютона) в векторном виде выражается следующим соотношением

,

где – ускорение, приобретаемое телом под действием силы; – масса движущегося тела; – вектор результирующей всех внешних сил, действующих на тело. Вектор результирующей силы определяется как

,

где – вектор отдельных внешних сил, действующих на тело.

Законы Ньютона экспериментально достаточно точно проверить нельзя, т. к. трудно учесть действия всех сил. Однако следствия, вытекающие из этих законов, проверить можно. Установив проверкой правильность следствия, можно утверждать справедливость законов Ньютона.

Если величины результирующих сил, действующих на одно и то же тело различны, то ускорения, приобретаемые телами под действием этих сил, также будут разными. Вследствие этого отношения величин равнодействующей силы к вызываемых их ускорений соответственно равны

. (1)

Данное выражение является следствием II закона Ньютона.

Выполнение соотношение (1) можно экспериментально проверить.

Рассмотрим движение двух грузов, подвешенных на нити, которая перекинута через неподвижный блок (рис. 1).

Если переложим перегруз m₁ с левой стороны на перегруз на правую сторону нити, то замкнутость системы не нарушится (масса движущейся системы не меняется), но ускорение движения системы увеличится. Равнодействующая сила в этом случае будет равна сумме сил тяжести правого и левого перегрузов

.

Тогда отношение сил определяет выражение

. (2)

Так как равнодействующие силы и в обоих случаях отличны от нуля, движение системы равноускоренное. Учтем, что в каждом случае система грузов проходят равные пути и имеет каждый раз нулевую начальную скорость. Используя формулу пути равноускоренного движения с нулевой начальной скоростью

,

получим, что отношение ускорений равно обратному отношению квадратов соответствующих времен:

. (3)

Таким образом, определение равенства отношения сил ( ) и ускорений ( ), возможно экспериментально подтвердить выполнение следствие (1), полученного из закона Ньютона.

Схема экспериментальной установки на основе машины Атвуда (рис. 2, а) приведена на рис. 2, б.

Машина Атвуда (рис. 2, б) состоит из вертикального штатива 1, на который крепится легкий блок 2, через который перекинута нить 3 с грузом 4 массой m. Масса этого груза может быть увеличена добавочными небольшими перегрузами 5 массами m₁иm₂. Левый груз с перегрузом при выполнении работы необходимо опускать вниз, чтобы поднять правый груз с перегрузом на определенную высоту. В нижней части штатива установлен приемный столик 6, кронштейн с закрепленным фотодатчиком 8. На корпусе кронштейна имеется риска, совпадающая с оптической осью фотодатчика. В момент удара груза по чашечке приемного столика 6 происходит пересечение движущегося груза оптической оси фотодатчика. Вследствие этого разрывается цепь счетчик – секундомера и прекращается отсчет времени.

На вертикальном штативе укреплена линейка 9 с сантиметровыми делениями, по которой определяют начальное и конечное положения грузов. Начальное положение определяют по нижнему срезу груза , а конечное – по риске на корпусе кронштейна, где укреплен фотодатчик 8.

Секундомер 10 представляет собой прибор с цифровой индикацией времени. При нажатии кнопки «пуск» секундомера происходит расторможение электромагнита и груз массой с перегрузами и придет в движение и начинается отсчет времени. Регулировочные опоры 11 используют для регулировки положения экспериментальной установки на лабораторном столе

Перед проведением опытов прибор следует установить в строго вертикальное положение с помощью ножек — винтов опоры.

При движении системы грузов кроме равнодействующей силы, обуславливающей движение грузов и перегрузов, в узле блока возникает сила трения и крутящийся момент, пренебречь которыми нельзя, т. к. по величине они сравнимы с теми силами, которые приводят в движение систему. Поэтому перед началом работы сила трения должна быть скомпенсирована. Это условие выполняется, если оба груза, подвешенные на нити через блок, самопроизвольно не приходят в движение и во время подталкивания одного из них, они будут двигаться равномерно с той же скоростью, которую им сообщили. При этом если масса блока невелика по сравнению с массами падающих грузов, и трение мало, то раскручивание блока не требует приложения к нему крутящего момента и силы натяжения нити по обе стороны блока равны друг другу.

В настоящей работе предполагается по результатам опытов определить отношение сил по формуле (2) и отношение ускорений по формуле (3). Затем сравнив результаты с допущенными погрешностями при их измерении, проверить справедливость следствия II закона Ньютона .

Порядок выполнения работы

1. Перекинуть через блок нить с двумя грузами и привести систему в положение равновесия.

2. Положить на левый и правый грузы соответственно перегрузы и Масса перегруза должна быть больше массы . Записать массы перегрузов в табл.

3. Установить правый перегруз в правом верхнем положении так, чтобы высота его падения составляла не менее 5 см.

4. Включить секундомер нажатием кнопки «сеть». Нажать на кнопку «пуск» блока секундомера. Груз с перегрузом начнет опускаться и пойдет отсчет времени. Дождаться окончания отсчета времени секундомера и записать в табл.

5. Перед началом следующего опыта нажать на кнопку «сброс», обнулив показание секундомера, и возвратить правый груз с перегрузом на прежнее верхнее положение.

6. Пятикратно повторить измерение времени падения перегруза по п.п. 3-5 при неизменной геометрии эксперимента. Измерения записать в табл.

8. Переложить перегруз с левого груза на правый (на правом грузе находятся оба перегруза и ).

9. Пятикратно повторить измерение времени падения перегруза по п.п. 3-5 при той же высоте, что и в предыдущих опытах. Измерения записать в табл.1.

10. Рассчитать средние значения времен и квадраты разностей времен (по модулю) падения грузов с перегрузами и записать в табл.1.

11. Вычислить отношения сил ( ) и ускорений ( ) по формулам (2) и (3) соответственно.

12. Вычислить доверительные границы общих погрешностей для и по формулам

, где ,

, где ,

где — абсолютная ошибка измерения массы, которую рассчитывают как систематическая ошибка; — абсолютная ошибка измерения времени, которую рассчитывают как случайная и систематическая ошибки.

13. Проверить выполнения неравенства

. (4)

14. Записать выводы по результатам расчетов. Если неравенство (4) выполняется, то соотношение (1) справедливо. Если неравенство не выполняется, то проанализируйте ошибки, допущенные в ходе выполнения работы.

1. Что называется средней и мгновенной скоростями? Как определяется их направление?

2. Что называется массой и весом тела? Какой смысл вкладывается в понятие силы?

3. Сформулировать законы Ньютона. Какова зависимость между этими законами? В каких случаях они справедливы?

4. Подсчитать силу натяжения нити, на которой подвешен груз, при равноускоренном и равнозамедленном движении груза вверх и вниз.

5. Какое следствие второго закона Ньютона проверяется в этой работе?

6. Почему перегруз перекладывают с одной стороны на другую, а не вносят извне?

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №3

Опора деревянной одностоечной и способы укрепление угловых опор: Опоры ВЛ — конструкции, предназначен­ные для поддерживания проводов на необходимой высоте над землей, водой.

Механическое удерживание земляных масс: Механическое удерживание земляных масс на склоне обеспечивают контрфорсными сооружениями различных конструкций.

Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰).

Папиллярные узоры пальцев рук — маркер спортивных способностей: дерматоглифические признаки формируются на 3-5 месяце беременности, не изменяются в течение жизни.