Учебники
Журнал «Квант»
Общие
Уровень B
1. Колесо при вращении имеет угловую скорость 10π рад/с. После торможения, за минуту его скорость уменьшилась до 6π рад/с. Найдите угловое ускорение колеса.
2. Маховик начал вращаться равноускоренно и за 10 с достиг угловой скорости 10π рад/с. Определите угловое ускорение маховика.
3. Укажите направление тангенциального ускорения в точках A, B, C, D при движении по окружности по часовой стрелке (рис. 1), если:
а) если скорость увеличивается;
4. Определите тангенциальное ускорение колеса радиуса 30 см, если он начинает тормозить с угловым ускорением 0,2 рад/с 2 .
5. Определите угловое ускорение вала электродвигателя радиуса 0,5 см, если его тангенциальное ускорение равно 1 см/с 2 .
6. Сравните формулы, описывающие равноускоренное движение по прямой и по окружности, и, используя метод аналогии, заполните таблицу.
| № | Величины и формулы | Равноускоренное движение по прямой (линейные величины) | Равноускоренное движение по окружности (угловые величины) |
|---|---|---|---|
| 1 | Скорость начальная | υ | |
| 2 | Скорость конечная | υ | |
| 3 | Перемещение | Δr | |
| 4 | Ускорение | a | |
| 5 | Формула для расчета ускорения | \( a_x = \frac<\upsilon_x - \upsilon_<0x>> | |
| 6 | Формула для расчета скорости. | \( \upsilon_x = \upsilon_ <0x>+a_x t\) | |
| 7 | Формулы для расчета перемещения | \( \Delta r_x = \upsilon_ <0x>t + \frac \Delta r_x = \upsilon_x t — \frac \Delta r_x = \frac<\upsilon^2_x - \upsilon^2_<0x>><2 a_x>\) ; |
7. Маховик начал вращаться равноускоренно и через 10 с стал вращаться с периодом 0,2 с. Определите:
а) угловое ускорение маховика;
б) угловое перемещение, которое он сделает за это время.
8. Маховик, вращающийся с частотой 2 Гц, останавливается в течении 1,5 мин. Считая движение маховика равнозамедленным, определите:
а) угловое ускорение маховика;
б) угловое перемещение маховика до полной остановки.
9. Диск вращается с угловым ускорением 2 рад/с 2 . Определите угловое перемещение диска при изменении частоты вращения от 4 Гц до 1,5 Гц?
10. Колесо, вращаясь равнозамедленно, при торможении уменьшило свою частоту за 1 мин от 5 Гц до 3 Гц. Найдите угловое перемещение, которые совершило колесо за время торможения.
Уровень C
1. Маховик начинает вращаться равноускоренно из состояния покоя и за первые 2 мин делает 3600 оборотов. Найдите угловое ускорение маховика.
2. Ротор электродвигателя начинает вращаться из состояния покоя равноускоренно и за первые 5 с делает 25 оборотов. Вычислите угловую скорость ротора в конце пятой секунды.
3. Пропеллер самолета вращается с частотой равной 20 Гц. В некоторый момент времени выключают мотор. Сделав 80 оборотов, пропеллер останавливается. Сколько времени прошло с момента выключения мотора до остановки, если вращение пропеллера считать равнозамедленным?
4. Колесо, вращаясь равноускоренно, достигло угловой скорости 20 рад/с через 10 оборотов после начала вращения. Найдите угловое ускорение колеса.
5. Материальная точка движется по окружности. Когда центростремительное ускорение точки становится равным 3,2 м/с 2 , угол между вектором полного и центростремительного ускорений равен 60°. Найдите тангенциальное ускорение точки для этого момента времени.
6. Точка движется по кривой с постоянным тангенциальным ускорением 0,5 м/с 2 . Определите полное ускорение точки на участке кривой с радиусом кривизны 3 м в момент времени, когда линейная скорость равна 2 м/с.
7. Небольшое тело начинает движение по окружности радиусом 30 м с постоянным по модулю тангенциальным ускорением 5 м/с 2 . Найдите полное ускорение тела через 3 с после начала движения.
8. Диск радиусом 10 см, находящийся в состоянии покоя, начал вращаться с постоянным угловым ускорением 0,5 рад/с 2 . Найдите полное ускорение точек на окружности диска в конце второй секунды после начала вращения.
9. Угол поворота колеса радиусом 0,1 м изменяется по закону φ =π · t. Найдите угловую и линейную скорости, центростремительное и тангенциальное ускорения точек обода колеса.
10. Колесо вращается по закону φ = 5t – t 2 . Найдите в конце первой секунды вращения угловую скорость колеса, а также линейную скорость и полное ускорение точек, лежащих на ободе колеса. Радиус колеса 20 см.
Теоретическая механика (стр. 5 )
 | Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах: 1 2 3 4 5 6 |
Криволинейное равномерное движение. В этом случае модуль скорости V = const, значит, at = dV/dt = 0. Полное ускорение точки 
При равномерном движении по кривой точка всегда обладает лишь нормальным ускорением.
Прямолинейное равномерное движение. В этом случае r = ¥, V = const, значит,
и 
и полное ускорение a = 0.
Задача 39. Точка движется равномерно замедленно по дуге окружности радиусом 80 м в течение 20 с. Определить полное ускорение точки в начале и конце движения, если начальная скорость V0 = 15 м/с, а конечная скорость V = 10 м/с.
1. Определим постоянное касательное ускорение точки
м/с2,
где знак «минус» указывает, что направление ускорения противоположно направлению скорости, т. е. движение является замедленным.
2. Определим нормальное ускорение точки в начальный момент времени:
м/с2.
3. Определим нормальное ускорение в конце движения:
м/с2.
4. Определим полное ускорение точки в начале и конце движения:
м/с2;
м/с2.
Задача 40. Тело свободно падает на Землю без начальной скорости с высоты Н = 100 м. Пренебрегая сопротивлением воздуха, определить модуль скорости тела в момент падения на Землю.
Так как движение тела прямолинейное и равномерно ускоренное, то a = at = g = 9,81 м/с2. Учитывая, что V0 = 0 и s = H, найдем
и 
,
.
Подставив значения g и H, имеем 
= 44,3 м/с.
§ 18. Вращательное движение тела вокруг неподвижной оси
Движение тела, при котором не менее двух каких-либо его точек остаются неподвижными, называется вращательным. Прямая, проходящая через две неподвижные точки, называется осью вращения. Каждая точка тела, не лежащая на оси вращения, описывает окружность, плоскость которой перпендикулярна к оси вращения, а центр лежит на этой оси.
Пусть твердое тело вращается вокруг неподвижной оси Оz (рис. 69). Проведем через ось вращения неподвижную плоскость Q и плоскость Р, жестко связанную с телом. При вращении тела угол j между плоскостями будет непрерывно меняться с течением времени. Его называют углом поворота тела и измеряют в радианах.
Зависимость угла поворота от времени описывается уравнением
, (30)
которое называют законом вращательного движения.
Быстроту и направление вращения можно охарактеризовать с помощью угловой скорости w. Модуль угловой скорости определяют как быстроту изменения функции 
т. е. как первую производную от угла поворота по времени:
. (31)
Угловую скорость измеряют в рад/с. В общем случае при неравномерном вращении угловая скорость изменяется с течением времени, т. е. 
Характеристикой быстроты изменения угловой скорости является угловое ускорение, равное первой производной от угловой скорости по времени:
, (32)
которое измеряют в рад/c2.
Если знаки w и e одинаковы, то имеет место ускоренное вращение, если знаки w и e различны – замедленное вращение.
§ 19. Частные случаи вращательного движения
Если модуль угловой скорости при вращении тела постоянен (w = const), то имеет место равномерное вращение. Угловую скорость равномерного вращения находят как отношение угла поворота за некоторый промежуток времени к этому промежутку, т. е.
, (33)
(34)
Последнее уравнение называют законом равномерного вращения.
Иногда удобно угловую скорость равномерного вращения выражать через число п оборотов, совершаемых в одну минуту. Число оборотов в минуту называют частотой вращения. За один оборот тело поворачивается на 2p радиан, а за п оборотов на 
радиан. В одной минуте 60 с, поэтому
, (35)
откуда частота вращения
Если при вращении угловое ускорение остается без изменения (e = const), то имеет место равномерно-переменное вращение.
Формулы для определения угла поворота и угловой скорости при равномерно-переменном вращательном движении аналогичны формулам для равномерно-переменного движения точки, только вместо величины s, V, V0, at нужно подставить величины j, w, w0 и e. В результате получим:
(36)